送信完了処理で POST 送信を行う。

document.addEventListener( 'wpcf7mailsent', function( event ) {
  var form = document.createElement('form');
  form.method = 'POST';
  form.action = '<?php echo home_url(); ?>/thanks-page/';

  var name = document.createElement('input');
  name.type = 'hidden';
  name.name = 'your-name';
  name.value = document.querySelector('your-name-selector').value;
  form.appendChild(name);

  document.body.appendChild(form);
  form.submit();
}, false );

その後、サンクスページで、その表示処理を行う。

var name = <?php
  if ( isset( $_POST['your-name'] ) && $_POST['your-name'] !== '' ) {
    $postData = $_POST['your-name'];
    if (strlen($postData) > 100) {
      $postData = substr($postData, 0, 100);
    }
    // Unicodeエスケープされた文字列
    $postData = json_encode($postData);
    echo $postData;
  } else {
    echo '""';
  }
?>;
if ( name !== '' ) {
  document.querySelector('your-name-display-selector').innerHTML = name;
}